Формула, вырезанная ножом на мосту⁠⁠1

16 октября 1843 года ирландский математик Уильям Гамильтон гулял вдоль Королевского канала в Дублине. И вдруг — щёлк. Озарение. Он достал перочинный нож и нацарапал на камне моста Брум:

i² = j² = k² = ijk = –1

Три буквы, одна цифра. Самое знаменитое математическое граффити в истории. Сейчас на этом месте памятная табличка, а каждый год 16 октября фанаты математики устраивают паломничество и повторяют маршрут Гамильтона.

Но что вообще значит эта формула?

Гамильтон бился над одной задачей — как описать вращение объектов в трёхмерном пространстве. Координаты x, y, z — это понятно. А вот что происходит с ними при повороте? Тут начиналась сферическая геометрия и головная боль.

Для двумерных вращений уже существовал изящный трюк с комплексными числами. Умножаешь на мнимую единицу i — и линия поворачивается на 90 градусов. Красота. Гамильтон хотел провернуть то же самое в 3D.

Месяцы мучений привели его к неожиданному выводу: для трёхмерных вращений нужны четырёхмерные числа. Три мнимые единицы — i, j, k — плюс обычная. Он назвал их кватернионами.

А мнимую часть кватерниона Гамильтон окрестил «вектором». Да, тем самым вектором из школьной физики — стрелочка с направлением и длиной. До него учёные работали с отдельными координатами. Гамильтон первым объединил их в единый математический объект.

Сегодня векторы повсюду. Уравнения Максвелла для электромагнитных полей записываются в одну строчку вместо трёх громоздких формул. Инженеры считают нагрузки на мосты. Программисты ориентируют спутники.

И кватернионы — они тоже живее всех живых. NASA использует их для управления марсоходами. Разработчики игр — для вращения 3D-моделей. Оказалось, что для программирования поворотов изобретение Гамильтона до сих пор часто лучший выбор.

Сам он до триумфа не дожил. Коллеги не оценили. Но Гамильтон верил — когда-нибудь его поблагодарят. «Неважно когда», — писал он. Теперь мы пользуемся плодами той формулы каждый день. Даже не подозревая об этом.