Задача с ЕГЭ по математике⁠⁠

Такая задача была на недавнем ЕГЭ по профильной математике, сам решил неправильно (по мнению экспертов по крайней мере) в интернете решения не нашел, прошу помощи у пикабушников + интересно как будут это решать люди, которым не давали алгоритмы и шаблоны решения таких задач

P.S. Задание здесь сформулировано не очень корректно. Лучше так: найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение (то есть единственный Х) на отрезке [0;1]