atanewtion

Особое внимание в данном контексте следует уделить диапазону допустимых значений для переменных m и n, и какие вырожденные случаи произойдут, если его нарушить.

• В частности, если вопреки вышеозвученным ограничениям мы используем n = 0, то, как это видно из вышеприведенных формул, катет А треугольника Пифагора автоматически обнуляется, превращая треугольник фактически в отрезок прямой.

• А если вдруг нам захочется опять же вопреки ограничениям использовать m = n, то на этот раз уже обнулится катет В с тем же самым печальным результатом.

• Ну, а m = n = 0 вообще обнуляют треугольник в нуль, превращая его в математическую точку.

Все эти соображения по поводу нарушения допустимого диапазона изложены здесь не случайно мною, как увидите чуть позже. А пока вполне достаточно усвоить, что любой вырожденный треугольник Пифагора сразу же бросается в глаза хотя бы одним нулевым катетом. Тем не менее математические формулы и равенства совершенно непредвзяты и неподкупны, и для них все вырожденные случаи тоже являются вполне приемлемыми и допустимыми решениями.

Ну вот вроде бы наконец и подошла очередь для четвертой степени теоремы Ферма: A^4 + B^4 = C^4. Совершенно очевидно, что это - частный случай второй степени, где существует бесконечное множество одних только независимых решений. Так неужели среди них не найдется ни одного, удовлетворяющего условиям четвертой степени?! Так вот и распишем все для этого конкретного случая:

1. C^2 = m^4 + n^4

2. B^2 = m^4 - n^4

3. A^2 = 2 m n.

Первые два равенства описывают два других треугольника Пифагора. Чтобы это было нагляднее, перепишу вторую формулу в каноническом виде:

B^2 + n^4 = m^4.

И эти вторичные треугольники, как это очевидно, по своим размерам немного меньше исходного треугольника со сторонами { A^2, B^2, C^2 }, что в принципе дает нам возможность рекурсивного уменьшения для обоих вторичных треугольников вплоть до того, пока какой-нибудь вторичный треугольник вторичного треугольника (и т.д.) на каком-то неизвестном нам уровне рекурсии не станет вырожденным. Ведь когда-то же этот момент обязательно наступит. Ну уж тут который из них первый достигнет этого своего нижнего предела, тому, будем считать, и повезло.

Однако предлагаю все-таки понапрасну не усложнять себе жизнь и считать, что наш треугольник { A^2, B^2, C^2 } и так уже минимален. Т.е. он сам по себе вполне безупречен во всех отношениях, но только вот хотя бы один из его двух вторичных треугольников уже вырожден. Никаких особых формул тут нам применять не понадобится, поскольку мы уже и так умеем отличать вырожденный треугольник от невырожденного по нулевой стороне.

Итак вторичный треугольник C^2 = m^4 + n^4. Тут вроде бы совершенно очевидно, что обнулить m или n невозможно в принципе, ибо это сразу же выродит наш исходный треугольник, который мы до этого считали полноценным и невырожденным.

Так что последней надеждой уповаем на второй из вторичных треугольников: B^2 + n^4 = m^4. Вторичный катет В^2 тут обнулять нельзя, так как он одновременно является катетом нашего исходного и полноценного по нашим ожиданиям треугольника. Ну а второй его катет - n - тоже не подлежит обнулению, ибо это снова приведет к вырождению исходного треугольника.

Ну и к чему же мы пришли? Минимального полноценного треугольника не существует.

Кстати, сам Пьер Ферма в свое время приблизительно таким способом доказывал этот факт, но только гораздо сложнее. А я лишь попытался максимально упростить это его доказательство - ну примерно на пару порядков.

2) 0 < n < m.

3) Эти переменные обязательно должны иметь разную четность.

Особое внимание в данном контексте следует уделить диапазону допустимых значений для переменных m и n, и какие вырожденные случаи произойдут, если его нарушить.

1) В частности, если вопреки вышеозвученным ограничениям мы используем n = 0, то, как это видно из вышеприведенных формул, катет А треугольника Пифагора автоматически обнуляется, превращая треугольник фактически в отрезок прямой.

2) А если вдруг нам захочется опять же вопреки ограничениям использовать m = n, то на этот раз уже обнулится катет В с тем же самым печальным результатом.

3) Ну, а m = n = 0 вообще обнуляют треугольник в нуль, превращая его в математическую точку.

Все эти соображения по поводу нарушения допустимого диапазона изложены здесь не случайно мною, как увидите чуть позже. А пока вполне достаточно усвоить, что любой вырожденный треугольник Пифагора сразу же бросается в глаза хотя бы одним нулевым катетом. Тем не менее математические формулы и равенства совершенно непредвзяты и неподкупны, и для них все вырожденные случаи тоже являются вполне приемлемыми и допустимыми решениями.

Ну вот вроде бы наконец и подошла очередь для четвертой степени теоремы Ферма: A^4 + B^4 = C^4. Совершенно очевидно, что это - частный случай второй степени, где существует бесконечное множество одних только независимых решений. Так неужели среди них не найдется ни одного, удовлетворяющего условиям четвертой степени?! Так вот и распишем все для этого конкретного случая:

1) C^2 = m^4 + n^4

2) B^2 = m^4 - n^4

3) A^2 = 2 m n.

Первые два равенства описывают два других треугольника Пифагора. Чтобы это было нагляднее, перепишу вторую формулу в каноническом виде:

4) B^2 + n^4 = m^4.

И эти вторичные треугольники, как это очевидно, по своим размерам немного меньше исходного треугольника со сторонами { A^2, B^2, C^2 }, что в принципе дает нам возможность рекурсивного понижения вплоть до того, пока треугольник 1 или 2 не станет вырожденным. Ну уж тут кто из них первый достигнет этого своего нижнего предельного уровня, тому, будем считать, и повезло.

Однако предлагаю все-таки понапрасну не усложнять эту задачу и считать, что наш треугольник { A^2, B^2, C^2 } и так уже минимален. Т.е. он сам по себе вполне корректен во всех отношениях, но вот хотя бы один из его двух вторичных треугольников уже вырожден. Никаких особых формул тут нам применять не понадобится, поскольку мы уже и так умеем отличать вырожденный треугольник от невырожденного по нулевой стороне.

Итак вторичный треугольник 1) C^2 = m^4 + n^4. Тут вроде бы совершенно очевидно, что обнулить m или n невозможно в принципе, ибо это сразу же выродит наш исходный треугольник, который мы до этого считали полноценным и невырожденным.

Так что последней надеждой уповаем на второй из вторичных треугольников: 4) B^2 + n^4 = m^4. Вторичный катет В тут обнулять нельзя, так как он одновременно является катетом нашего исходного и полноценного по нашим ожиданиям треугольника. Ну а второй его катет - n - тоже не подлежит обнулению, ибо это снова приведет к вырождению исходного треугольника.

Ну и к чему мы пришли? Минимального полноценного треугольника не существует.

Кстати, сам Ферма в свое время именно таким способом доказывал этот факт, но только гораздо сложнее. А я лишь попытался максимально упростить это его доказательство - ну примерно на пару порядков.

В принципе это - огромная случайность, что по жизни впоследствии мы немного пересеклись с ним, и познакомились чуть ближе. Просто после смерти моей матери в наследство осталась библиотека так сказать эзотерической литературы, которая как меня, так и мою семью совершенно не интересовала. Но в моем воспитании с самого детства были вбиты два непреложных принципа: еду и книги нельзя выбрасывать. Поэтому я и предпринял попытку продать ненужные книги так сказать в хорошие руки. Точно уже не помню за давностью лет, но кажется разместил я тогда соответственное объявление на авито.

И вот тут-то Вадик и проявился как бы из небытия в поисках духовной (по его словам) литературы (как же тесен мир!). К тому моменту он уже был матерым "прагматиком". Если изначально он посещал все без исключения богослужения в ближайшем храме, то попы в конце концов убедили его впредь удерживаться от этого. Ну очень уж они не любят, когда кто-то из прихожан спорит с ними по вопросам веры.

Подобных встреч у нас с ним было несколько. Уже на второй раз я предложил ему выбрать все подходящие книги бесплатно. А в конечном счёте мечтал уже, что он их заберет все разом. И я даже был готов помочь ему с доставкой этой литературы прямо в его квартиру. Благо, живет он сравнительно неподалеку, и мне при наличии машины это было не особенно трудно.

Во время одной из таких встреч Вадик меня особо удивил, сообщив, что у него аж три высших образования. Я со своим единственным тогда, признаться, слегка прихренел и спросил его:

- А чего же ты тогда зарабатываешь на жизнь разносом спама по почтовым ящикам ни в чем не повинных сограждан!

Оказалось, это все из-за того, что он любит оспаривать все, в том числе и перед начальством. Поэтому дескать его нигде не терпят. Позже я узнал, что все ВУЗы, которые он окончил, были платными. Ну и все наверное знают, что в таких ВУЗах ставят оценки не столько за знания, сколько за заплаченные деньги за так называемое обучение.

Но самое главное, Вадик - "старый дев" и никогда не был женат. В том возрасте ему было уже под 60, но он все равно продолжал мечтать найти себе девственницу (по его же словам) в пределах 50 лет. И переданное мною мнение на этот счет Ирины Григорьевны, которую он тоже конечно же тоже знал с самой лучшей стороны, на него особо не подействовало. Ну, наверное так до сих пор и ищет...

Для нахождения решения уравнения A^4 + B^4 = C^4 достаточным условием является существование тройки чисел x, y и z, когда 2*z^4 = (x^8 + y^8). Казалось бы на первый взгляд, в чем тут смысл и зачем перебирать на компе числа x, y и z вместо A, B и C. А вы только посмотрите на степени этих чисел и какие величины они представляют. Короче говоря, числа x, y в восьмых степенях сразу же выводят нас в какие-то невероятные космические масштабы. Да и z в четвертой степен при этом не намного хуже.. Ну и при их определенных значениях даже в пределах 16-разрядной компьютерной арифметики получаются величины, возможно превосходящие количество элементарных частиц во вселенной. Короче говоря. это не тупой перебор, а вполне осмысленный и выборочный.

Тем не менее, если бы только найти эту волшебную тройку чисел, то решение теоремы Ферма для четвертой степени выглядело бы следующим образом:

A = x * y * z;

B = (x^4 - y^4) / 2;

C = (x^4 + y^4) / 2;

Лично я для отладки своего софта разок прокрутил этот перебор в пределах 64К, но так и не получил этим самым какого-нибудь положительного результата. Впрочем, если бы и получил, то очень удивился бы этому. Конечно же я после этого попытался увеличить диапазон от 64К до 128К, но процесс длился настолько медленно на компе, что моего терпения хватило лишь на 20К свыше 64К, после чего я это дело прервал.