Самое большое число 2
Простые числа Мерсенна
Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на 1 и самого себя. Итак, 2, 3 и 5— простые числа, а 4 и 6 — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете юыть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число 5 является более важным, чем, скажем, 4, потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.
Очевидно, мы можем пойти немного дальше. 100, например, на самом деле просто 2 · 2 · 5 · 5, что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом 5 , математик еще может выразить число 100. Но уже следующее число 101 простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел 2 и 5, перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида 2^n-1. Так, например, 2^2-1=3, и это число простое, то же самое верно и для 2^5-1=31. Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число 2^127-1— число с 39 цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число 2^521-1 простое, и это число состоит из 157 цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время 47-е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет 2^43112609-1 — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа.
Число Скьюза
Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.
Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого x можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших x. Например, если x=1000, функция предсказывает, что должно быть 178 простых чисел, если x=10000— 1246 простых числа, меньших 10000, и если x=1000000, то существует 78628 меньших чисел, которые являются простыми.Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть 168 простых чисел, меньших 1000, 1229 простых чисел меньших 10000, и 78498 простых чисел меньших 1000000. Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.
Во всех известных случаях до 10^22, функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших x. Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз . В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число 10^10^10^34. Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа 10^316, но исходное число осталось известно как число Скьюза.Итак, насколько велико число 10^10^10^34, которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:
“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.
И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до 10^10^10^963.
Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на 1 и самого себя. Итак, 2, 3 и 5— простые числа, а 4 и 6 — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете юыть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число 5 является более важным, чем, скажем, 4, потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.
Очевидно, мы можем пойти немного дальше. 100, например, на самом деле просто 2 · 2 · 5 · 5, что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом 5 , математик еще может выразить число 100. Но уже следующее число 101 простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел 2 и 5, перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида 2^n-1. Так, например, 2^2-1=3, и это число простое, то же самое верно и для 2^5-1=31. Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число 2^127-1— число с 39 цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число 2^521-1 простое, и это число состоит из 157 цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время 47-е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет 2^43112609-1 — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа.
Число Скьюза
Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.
Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого x можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших x. Например, если x=1000, функция предсказывает, что должно быть 178 простых чисел, если x=10000— 1246 простых числа, меньших 10000, и если x=1000000, то существует 78628 меньших чисел, которые являются простыми.Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть 168 простых чисел, меньших 1000, 1229 простых чисел меньших 10000, и 78498 простых чисел меньших 1000000. Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.
Во всех известных случаях до 10^22, функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших x. Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз . В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число 10^10^10^34. Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа 10^316, но исходное число осталось известно как число Скьюза.Итак, насколько велико число 10^10^10^34, которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:
“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.
И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до 10^10^10^963.